零、总结

注：什么时候可以带入边界方程？

二重积分、三重积分不可以用代入法；曲线积分,曲面积分是可以用的.
一般来讲,重积分(无论是二重/三重的)都不能把区域方程代入被积函数；
曲线/曲面积分(无论是第一类/第二类)都能把曲线/曲面方程代入被积函数.
所以说,当你利用格林公式或斯托克斯公式以后,要注意,这时候就不能用代入法

二重积分三重积分是对一个区域积分，其方程是指这个区域的边界而不是表达式。线积分和面积分是对一个线或面积分，给出的方程，积分里的每一个点都符合该方程，所以可以代入。

1、各类积分起源

定积分的概念从计算“曲边梯形的面积”等问题引入
二重积分从计算“曲顶柱体体积”引入
三重积分则是从求“三维空间中的有界物体的质量”引入的
第一类曲线积分从求“物质曲线的质量”中引入
第二类曲线积分从计算“力场做功问题”引入
第一类曲面积分从求“物质曲面质量问题”引入
第二类曲面积分则是从“讨论流量问题”引入

2、各类积分之间的关系

 定积分、重积分、线积分、面积分之间的关系

 牛顿莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的关系

一、二重积分（曲顶柱体体积，平面薄片质量）

1、二重积分的定义

设是定义在平面有界闭区域D上的有界函数，则

2、二重积分的几何意义

设 ，则曲顶柱体的体积

3、二重积分的物理意义

4、性质

5、对称性

① 奇偶性

 ② 轮换对称性

6、计算

①直角坐标系下

② 二重积分的换元法

③极坐标系

二、三重积分（几何体质量）

1、定义

2、物理含义

3、对称性

 ①奇偶对称性

②轮换对称性

4、性质

5、计算

①投影法（先一后二）

②切片法（先二后一）

③三重积分的换元法（大纲不做要求）

④柱面坐标法

⑤球面坐标法

6、应用（体积、质心坐标、转动惯量）

 三、第一类曲线积分（光滑曲线的质量，对弧长的积分）

1、定义

2、物理含义

3、对称性

4、性质

5、计算

6、应用（弧长、曲线质心坐标、转动惯量）

四、第一类曲面积分（曲面质量、可求曲面面积）

1、定义

2、物理含义

 dS是什么？

3、几何含义

4、性质

5、对称性

①奇偶对称性

② 轮换对称性

6、计算 （投影算二重积分）

7、应用（曲面面积、曲面质心坐标、转动惯量）

五、第二类曲线积分（做功）

 1、变力沿曲线做功

2、定义

3、性质

 4、两类曲线积分的关系

 5、对称性

① 奇偶对称性

个人认为实际上就是看做功方向与大小正负是否抵消。

 6、第二类曲线积分的计算公式（参数化，起对起 终对终）

 7、格林公式 ※※※❤（沿有向闭曲线积分）

①区域

 ②公式（对单连通和复连通均成立）

 8、平面上曲线积分与路径无关的条件（单连通）

9、全微分方程

10、平面第二类曲线积分问题总结

 六、第二类曲面积分（流量）

1、定义

 2、性质

3、 两类曲面的关系

4、对称性

5、计算

①投影法（算二重，注意正负号）

 【说明】第二类曲面积分的计算与第一类曲面积分相比，有相同点，也有不同点:

②转换公式法

③高斯公式法（单连通、复连通均成立）

6、斯托克斯公式

1、向量场的散度

①通量

 ②散度

③散度在直角坐标系下的的计算

 ④散度的运算法则

 2、向量场的旋度

①环量

 ②环量密度

 ③环量密度的计算

 ④旋度

⑤旋度的运算法则

 3、几种特殊的场

参考来源

多元微积分——曲线、曲面积分的几何、物理意义，以及积分间的联系 - 知乎